bonotakeの日記

元・ソフトウェア工学系研究者、今・AI系エンジニア

解答してみる

数学雑記

全称記号は省きますが、
$x1=x(x^{-1}x)=(xx^{-1})x$
ところで
[tex:xx^{-1}=(1x)x^{-1}=(((x^{-1})^{-1}x^{-1})x)x^{-1} =*1x^{-1}]
$\qquad\qquad\qquad\qquad=((x^{-1})^{-1}1)x^{-1} =(x^{-1})^{-1}(1x^{-1}) =(x^{-1})^{-1}x^{-1} = 1$
となるので、結局
$(xx^{-1})x = 1x = x$

よって
$x1=x$

そうなのか、逆元の公理ってかたっぽだけでいいのか…うーん（イマイチ納得できていない）

追記：ためしに公理の方（単位元、逆元）を

$\forall x.x1=x$
$\forall x.x^{-1}x=1$

とでも書き換えても、単位元の可換性を示せるんでしょうか。はて。

あとこちらの方法ですが、 $x1=x$ より先に $x=(x^{-1})^{-1}$ を示すのは難しい気がするんですが、どうでしょ。

*1:x^{-1})^{-1}(x^{-1}x

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