bonotakeの日記

ソフトウェア工学系研究者 → AIエンジニア → スクラムマスター・アジャイルコーチ

位相と論理 (日評数学選書) 第2章「命題論理とブール代数」

風邪引いちゃった…熱出て脳みそ働きません。しまった。

前半の命題論理と、Lindenbaum代数の導入のところはさらっと。Lindenbaum代数がブール代数となるところから、命題論理の完全性定理を導くところまでは問題なし。

最後の「2.6 Lindenbaum代数の構造とコンパクト性定理」とあるところが鬼門。

  • Pは命題論理の集合、2 は 離散位相空間なのでコンパクト・ハウフドルフ

いきなりコンパクト・ハウスドルフ空間の導入だけど、まぁよしとする。

  • よって、直積空間(?!)2^Pはコンパクト・ハウスドルフ

これがいろんな意味で良くわからんが、とりあえずまぁ、そうなるんだろう、という事で、先に。

  • 論理式 \phiについて、V_\phi = \{v \in 2^P \| v(\phi) = 1\}とおくと、V_\phi2^Pの開閉集合

まぁこれもよし。
でいろいろおいて、

完全性定理より、V_\phi = 2^Pならば、\|\phi\|=1なので、\|\phi\| \to V_\phi単射である。

この一行がどうしてもわからずダウン。単射である事について、本当にこの一行しか書いてないんですけど。
この後、\|\phi\| \to V_\phi全射であることを示して、それでこの写像が同型(「V_\phi = 2^Pならば」の条件なしで?)である事を定理としているのだけど、これもよぅわからず。
明日、風邪薬飲んで寝てから、もっかい考えよう…うーん。

注:bonotakeは、amazon.co.jpを宣伝しリンクすることによってサイトが紹介料を獲得できる手段を提供することを目的に設定されたアフィリエイト宣伝プログラムである、 Amazonアソシエイト・プログラムの参加者です。