英語版Wikipediaの記事 "Currying"*1 より。
In category theory, currying can be found in the universal property of an exponential object, which gives rise to the following adjunction: There is a natural isomorphism between the morphisms from a binary product
and the morphisms to an exponential object
.
強調は引用者。
何じゃ？と一瞬思ったけど…この記事にかなり好意的な解釈をすれば、（下にも書いたけれど、カルテシアン閉圏 (CCC) なら）カリー化に対応する射curryが、関手 *2 から
*3 への自然変換になってる、ということですか。
で、curryのinverseとなる射uncurryがあって、こっちは から
への自然変換。
ということで、（CCCなら） と
は自然同型になっている。つまり、curry / uncurry は全単射になってるって事で、ある関数をカリー化（非カリー化）した結果は常に一意に定まるし、別々の関数をカリー化（非カリー化）した結果が同一になることは無い。
ちなみに、これらの性質は、ある対象Yとの積を得る関手 と、Yによる冪対象を得る関手
が随伴 (
) になっている事に因る。
…と、引用した記事に肯定的な解釈をしてみたけど、元記事はやや不正確なところがあって、常に自然同型かどうかは、実際はちょっと怪しい。元記事が正しくなるためには、CCCである事が前提でなければならないと思われる。
あと厳密には、Homで取っちゃうと、（元の圏を離れて）集合の圏で考える事になるので、純粋なカリー化とは微妙に違っちゃう気もするんだけど…あくまで「カリー化に対応する性質が見られる」という事で、まぁ、これはいいのかなぁ。
