bonotakeの日記

元・ソフトウェア工学系研究者、今・AI系エンジニア

コンパクトハウスドルフ空間

※数学がわかってる人には「アホかい」って事書いてるかもしれませんが、初学者のたわごとなんで許してください。

id:m-hiyamaさんとこの「イデアルと論理」という話が面白そうなので最近ウォッチしてるんだけど、コンパクトハウスドルフという単語でがっつりつまづく。
元々、位相って最近になるまで知らなかった(^^; 上、特にこのハウスドルフなんちゃら、存在は知ってたんだけど名前にビビッてw手を出さなかったという訳のわからん経緯があり。でもかなり重要そうなので、この際だから勉強してみる。

amazonで教科書を注文(今更かよ!…というツッコミはなしで、今まで同じ本を人に借りてたのです)ありがたいことに土曜に注文したら日曜に届いた。

集合・位相入門

集合・位相入門

ということで、

とりあえず、この3つを理解すべく、通勤電車の中で読んだ。借りてたのはハードカバーだったのに、届いた本はペーパーバックになってて電車の中で読みやすい。


まず連結の定義。教科書には長々と書いてるけど、つまりは、開かつ閉なSの部分集合がSとφ(空集合)しかないような位相空間Sのことだそうだ…はぁ。
なんのこっちゃわからんので、連結じゃない場合を考えてみる。つまり、Sの部分集合に開かつ閉な集合\mathcal{O_1}が1つは存在する場合。
それってどういう状況だろう…とちょっと頭をひねってみて思い浮かんだのが、例えばSにおける\mathcal{O_1}の補集合\mathcal{O_2}があって、これも位相空間に存在するような場合。…おお!そうか。Sが\mathcal{O_1}\mathcal{O_2}にぶっつり切れるような状態なんだ。確かに、「連結」していない。なるほど〜。

ここでは十分条件しか示せていないけど、id:m-hiyamaさんとこに

一般の閉開集合は、連結成分の集合論的(or 幾何学的)直和で表現できる。

とあって、教科書にも同じようなことが書かれているんで、上の理解したような状況がほぼ必要十分になってるのかな。この辺はまだ、よくわかっていない。


…続きは後で。昼休み大分すぎちゃった。

11-29追記

トラックバック&引用元のm-hiyamaさんが、トラックバック元で丁寧な補足をしてくださいました。
…ごめんなさい、とてもいいかげんな引用をしてしまった私が悪いのですorz 元々上記で引用したかったのは、上述の教科書の

Mが連結であることは、Mが2つの空でない'Mの開集合'の直和として表されないことを意味する

という箇所だったのです。…全然「同じような」じゃありませんねorz
本来なら、さらに連結成分について定義と自分の理解を述べて、それから件の引用をしておくべきだったのですが、焦ってたので「後で加筆修正しよう」という思いで、結局そのままにしてしまいました。連結成分が開かつ閉かどうかってのは、実際に混乱してたかな…

ともかく、m-hiyamaさんご迷惑おかけしました。他の方すいません。

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