なぜ (-1) × (-1) ＝ 1 か - bonotakeの日記

整数の構成から話をすれば、

順序対 $(a,b)$ および $(c,d)$ $(a,b,c,d \in N)$ に対して、 $a+d=b+c$ であるような同値関係 $(a,b) \sim (c,d)$ を定める。（ここで、(a,b)は実質上の a-b）

同値類の集合 $N^2/\sim$ の上で、乗算を $(a,b) \times (c,d) = (ac+bd, ad+bc)$ と定める。（ $N$ 上の加算、乗算は既に与えられているものとする）

としておけば、-1は(0,1)で表せるので

$(0,1) \times (0,1) = (0*0+1*1, 0*1+1*0) = (1,0)$

となってシステマティックに求まる。

でも、その乗算の定義はどっからでてきたの、と言われれば非常に恣意的なもの（多分）。
「求め方」は、(a,b) を a-b とみて
$(a-b)*(c-d) = (ac+bd) - (ad+bc)$
と考えれば、自ずと (ac+bd, ad+bc) に還元すればいいのだな、とわかる。でも、とどのつまりは「結果ありき」の定義だし。特に計算中 (-b)*(-d)=bd としてしまっている以上、この説明をアタマに持ってくると「循環定義」になってしまう*1。

…「子供に聞かれたらなんて答えたらいいかな」などという疑問からぼんやり考えてたんだけど*2、この説明はちょっと使えなさそう。

*1:というよりまぁ、除算持ち出してる時点で既に…でもあるんだけど。

*2:勿論、そのまま説明するつもりはないです。どんな考え方を念頭に置けば良いかな、という事を考えていたのです。