bonotakeの日記

元・ソフトウェア工学系研究者、今・AI系エンジニア

略証だけ

書く時間がないので、会議中にこっそり、簡単に:P
たぶん後でいろいろ追記します。とりあえず、檜山さんには感謝感謝で。

R;Qが、AtomfulLatのidentityと自然同型になることを示すには、Pow(Atom(L)) ≒ L とかを束論的に示さないといけないが、束論の練習問題にちょうどいいでしょうから、後は任せた(って誰に?)。ヒント:x∈Lは、適当なX⊆Atom(L)を使って x = ∨X と書けるのだけど、xに対してアトムの集合Xが一意に定まることを示せ。

ヒントの部分だけ、背理法で。
異なる2つの集合X1, X2 ⊆ Atom(L) があったとして、x = ∨X1 = ∨X2 であったとする。
ここで、a∈X1であり、かつa∈X2でない アトムaを考える。*1

  • x=∨X1 と考えると、x∧a=a (∵a以外のX1の任意の要素bについて、b∧a=0)
  • x=∨X2 と考えると、x∧a=0

したがってa=0となるが、これはaがアトムであることに矛盾。


…こんなんでいいのかなぁ。

*1:このようなaが存在しない場合は、X1とX2をひっくり返す。

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