なぜ (-1) × (-1) = 1 か
整数の構成から話をすれば、
- 順序対
および
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に対して、
であるような同値関係
を定める。 (ここで、(a,b)は実質上の a-b)
- 同値類の集合
の上で、乗算を
と定める。 (
上の加算、乗算は既に与えられているものとする)
としておけば、-1は(0,1)で表せるので
となってシステマティックに求まる。
でも、その乗算の定義はどっからでてきたの、と言われれば非常に恣意的なもの(多分)。
「求め方」は、(a,b) を a-b とみて
と考えれば、自ずと (ac+bd, ad+bc) に還元すればいいのだな、とわかる。でも、とどのつまりは「結果ありき」の定義だし。特に計算中 (-b)*(-d)=bd としてしまっている以上、この説明をアタマに持ってくると「循環定義」になってしまう*1。
…「子供に聞かれたらなんて答えたらいいかな」などという疑問からぼんやり考えてたんだけど*2、この説明はちょっと使えなさそう。