bonotakeの日記

元・ソフトウェア工学系研究者、今・AI系エンジニア

なぜ (-1) × (-1) = 1 か

整数の構成から話をすれば、

  1. 順序対 (a,b) および (c,d) (a,b,c,d \in N) に対して、 a+d=b+c であるような同値関係 (a,b) \sim (c,d) を定める。 (ここで、(a,b)は実質上の a-b)
  2. 同値類の集合 N^2/\sim の上で、乗算を (a,b) \times (c,d) = (ac+bd, ad+bc) と定める。 N上の加算、乗算は既に与えられているものとする)

としておけば、-1は(0,1)で表せるので

(0,1) \times (0,1) = (0*0+1*1, 0*1+1*0) = (1,0)

となってシステマティックに求まる。


でも、その乗算の定義はどっからでてきたの、と言われれば非常に恣意的なもの(多分)。
「求め方」は、(a,b) を a-b とみて
 (a-b)*(c-d) = (ac+bd) - (ad+bc)
と考えれば、自ずと (ac+bd, ad+bc) に還元すればいいのだな、とわかる。でも、とどのつまりは「結果ありき」の定義だし。特に計算中 (-b)*(-d)=bd としてしまっている以上、この説明をアタマに持ってくると「循環定義」になってしまう*1


…「子供に聞かれたらなんて答えたらいいかな」などという疑問からぼんやり考えてたんだけど*2、この説明はちょっと使えなさそう。

*1:というよりまぁ、除算持ち出してる時点で既に…でもあるんだけど。

*2:勿論、そのまま説明するつもりはないです。どんな考え方を念頭に置けば良いかな、という事を考えていたのです。

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