bonotakeの日記

元・ソフトウェア工学系研究者、今・AI系エンジニア

ニセの手がかりを扱える論理体系

上のエントリを読み返していて、ふと「ニセの手がかり」なるものを真面目に扱える論理体系って何だろう、と気になって、考えてみた。

ヒントは、ヒビルテにあった知識論理。以下引用すると、こんなの。

K(φ,ψ) := □(φ→ψ) → □φ → □ψ
φ→ψ であることを知っていて、更に φ であることを知っているなら、ψ であることも知っている。
T(φ) := □φ → φ
φであることを知っているのなら、φである。
5(φ) := ◇φ → □◇φ
「φでないことを知らない」のなら、そのことを知っている。

さらに、ここから以下のようなことも言える。

D(φ) := □φ→◇φ
φであることを知っているなら、φでないことは知らない。
B(φ) := φ→□◇φ
φならば、「φでないことを知らない」ということを知っている。
4(φ) := □φ→□□φ
φであることを知っているなら、そのことを知っている。

しかし、公理Tがあると、知っている事実は全て真実になってしまうので、ニセの手がかりを扱えない。なので外す。
かといって、ただこれを外すだけだと、あまりに何もいえない体系になりそうなので、次のような公理T'を代わりに入れる。

T'(φ) := □□φ → □φ
「φであることを知っている」と知っているのなら、φであることを知っている。

あと、定理4は他の公理から言えるのかどうか謎だけど、とりあえず公理に格上げ。

ここまでで何が言えるのか。
とりあえず、定理D、Bの代わりに、次のような定理が言えた。

D'(φ):= □◇φ→◇◇φ
「φでないことを知らない」ことを知っているのなら、そうでない事を知らない
B'(φ) := ◇φ→□◇◇φ
φでないことを知らないなら、「そうでない事を知らない」ことを知っている

訳わからんwww
何かの役に立つのかこれはwww



[追記] さかいさんからプライベートで教えてもらいましたが、K,D,4,5が成り立つ様相は信念様相と呼ばれ、□φ を「φであることを信じている」と解釈できる、そうです。あー、確かにT'なんか考えるより、D入れたほうがシンプルだね。[/追記]

[追記2] 一応、これは言えるわ。

D''(φ):= □◇φ→◇φ
「φでないことを知らない」ことを知っているのなら、φでないことを知らない

[/追記2]

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