bonotakeの日記

元・ソフトウェア工学系研究者、今・AI系エンジニア

今日は圏論勉強会

でした。(サイト
午前中は新テキストの選定会。Asperti と Longo の Categories, Types, and Structuresに決定。
午後から早速読み始め。Chapter 1 は簡単に終わるかと思いきや、位相空間の圏の問題(「位相空間の圏で、epi だが surjective でない射を提示せよ」)で行き詰りました。予想外な落とし穴。うぐぐ。


追記
mixiのトピで現在議論中。現在、「例えば{0,1}の密着位相(への連続関数)を考えると、epi では必ず surjective になるのでは」という話になっています。
んで実際、ネットでいろいろ眺めてみると、英語版Wikipediaでは

Every morphism in a concrete category whose underlying function is surjective is an epimorphism. In many concrete categories of interest the converse is also true. For example, in the following categories, the epimorphisms are exactly those morphisms which are surjective on the underlying sets: ... Top, topological spaces and continuous functions. To prove that every epimorphism in Top is surjective, we proceed exactly as in Set, giving {0,1} the indiscrete topology which ensures that all considered maps are continuous.

として、位相空間の圏 では「epi ならば surjective」だと書いてます。理由も同じ。

Springer にあったオンラインの記事には

note that the imbedding of the Hausdorff space Q of rational numbers into the Hausdorff space R of real number is an epimorphism in {\bf Haus} which is not surjective

ここだと、ハウスドルフ空間の圏ならば、有理数空間から実数空間への埋め込みが "epi but not surjective" な例だとしてます。

なので、元の問題文が間違っている可能性も出てきました。果たしてどちらが正しいのか?

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