bonotakeの日記

ソフトウェア工学系研究者 → AIエンジニア → スクラムマスター・アジャイルコーチ

Cartesian closed かつ distributive な圏で x × x = x ² を示す

違った方面から攻めてみた。なんか途中。tex の frac を使ったので見づらい。
[tex: \frac{\large X \to^{} A \times A} {\frac{\large X \to^f A \hspace{4em} X \to^g A} {\frac{\large X + X \to^{\[f,g\]} A} {\frac{\large (X \times 1) + (X \times 1) \to^{\[f,g\]} A} {\frac{\large X \times (1+1) \to^{\[f,g\]'} A}{\large X \longrightarrow^{\small curry(\[f,g\]')} A^2}] ただし、 X \times (1 + 1) \simeq (X \times 1) + (X \times 1)
ここから、hom(-,A \times A) \simeq hom(-, A^2)
h = hom(-,A \times A), \hspace{3em} h' = hom(-, A^2) とおくと、米田の補題を使って
I^{op}(A \times A) \simeq nat(h, I^{op}) \simeq  nat(h', I^{op}) \simeq I^{op}(A^2)
(ただし、I^{op} : C \to C^{op} は、対象を保存し、射の向きを反対にするだけの反変関手)。∴  A \times A \simeq A^2



うう、なんか気持ち悪い証明になってしまった…米田の補題など持ち出す必要があったのだろうか。合ってるのか?これは。

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