bonotakeの日記

元・ソフトウェア工学系研究者、今・AI系エンジニア

位相と論理 (日評数学選書) 第3章「構造とモデル」

風邪のため、昨日は一日休憩。

2章は、前回のエントリーid:yoriyukiさんがコメントくれたおかげでサクっと終了。\|\phi\|V_\phiが同型であることさえ言えれば、いわゆるコンパクト性定理はV_\phiのコンパクト性からそのまま、おまけでついてくる感じ。

3章は他の章とは独立らしく、飛ばしても良かったけど、自分がinstitutionに興味があるとかどうこう言ってたので、ちゃんとやってみる。

  • 超フィルター (ultrafilter)
  • 超積 (ultraproduct)
  • Łoś(ウォシュ)の定理
  • コンパクト性定理
  • Tarski-Vaughtの判定条件

10ページ強しかないし、書いている内容は、字面上は大して難解に思えないんだけど、どうも脳みそになかなかイメージが沸かない。(つまりは「ちゃんと理解していない」んだろう。)もう少し捏ねたい。そういう意味では物足りない。

それから。途中、超フィルターの条件 (命題3.6) として

U \subseteq PIが有限交叉性をもてば、超フィルターに含まれる。U \subseteq PI が超フィルターである条件はそれが有限交叉性をもち、すべての A \subseteq PI について、 A \in U または I - A \in U となることである。

…とあるんだけど、途中の A \subseteq PIA \in PIA \subseteq I じゃないだろうか。
などと疑惑を持ち始めたので、下記の本を併読しはじめる。これは、テキストにも「参考とした」とある本。

モデルの理論 (数学基礎論シリーズ)

モデルの理論 (数学基礎論シリーズ)

こちらだと、A \subset I となってる。
他、個人的疑問と愚痴。

  • 元のテキストには超フィルター、超積の訳をそれぞれ "ultra filter" 、"ultra product" としているのだが、"ultrafilter"、"ultraproduct" では?
  • モデルの理論 (数学基礎論シリーズ)」で使ってる記法を、定義や準備なしでいきなり使用している箇所がある。

2つ目はちょっと閉口した。うーん文句ばっかり書いてるな俺。

なので、ココの部分は上で紹介した本の方なり、別の本で補完するのがよさそうだ。


…ただこの「モデルの理論」とか言う本、持ってはいたんだけど今まで手を出しあぐねていた。というのは、

なお演習問題には有限個の例外を除いてすべてヒントがついている。(略)本書の主要部分は140頁しかない。1日1頁ずつ読めば5ヶ月で終わる。1日2頁ずつ読めば2ヵ月半、1日10頁頑張って読めば2週間で読み終えられるようにできている。

というのが前書きに書いてあり、さらに註がついてる。最初の一文にこう↓

つまらない冗談である。

んで最後の一文に、こう↓

これもつまらない冗談である。

このセンスに耐えられなくて、本章を開けたことがなかったのでした。

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