bonotakeの日記

元・ソフトウェア工学系研究者、今・AI系エンジニア

位相と論理 (日評数学選書) 第2章「命題論理とブール代数」

風邪引いちゃった…熱出て脳みそ働きません。しまった。

前半の命題論理と、Lindenbaum代数の導入のところはさらっと。Lindenbaum代数がブール代数となるところから、命題論理の完全性定理を導くところまでは問題なし。

最後の「2.6 Lindenbaum代数の構造とコンパクト性定理」とあるところが鬼門。

  • Pは命題論理の集合、2 は 離散位相空間なのでコンパクト・ハウフドルフ

いきなりコンパクト・ハウスドルフ空間の導入だけど、まぁよしとする。

  • よって、直積空間(?!)2^Pはコンパクト・ハウスドルフ

これがいろんな意味で良くわからんが、とりあえずまぁ、そうなるんだろう、という事で、先に。

  • 論理式 \phiについて、V_\phi = \{v \in 2^P \| v(\phi) = 1\}とおくと、V_\phi2^Pの開閉集合

まぁこれもよし。
でいろいろおいて、

完全性定理より、V_\phi = 2^Pならば、\|\phi\|=1なので、\|\phi\| \to V_\phi単射である。

この一行がどうしてもわからずダウン。単射である事について、本当にこの一行しか書いてないんですけど。
この後、\|\phi\| \to V_\phi全射であることを示して、それでこの写像が同型(「V_\phi = 2^Pならば」の条件なしで?)である事を定理としているのだけど、これもよぅわからず。
明日、風邪薬飲んで寝てから、もっかい考えよう…うーん。

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