bonotakeの日記

元・ソフトウェア工学系研究者、今・AI系エンジニア

解答してみる

全称記号は省きますが、
x1=x(x^{-1}x)=(xx^{-1})x
ところで
[tex:xx^{-1}=(1x)x^{-1}=(((x^{-1})^{-1}x^{-1})x)x^{-1} =*1x^{-1}]
\qquad\qquad\qquad\qquad=((x^{-1})^{-1}1)x^{-1} =(x^{-1})^{-1}(1x^{-1}) =(x^{-1})^{-1}x^{-1} = 1
となるので、結局
(xx^{-1})x = 1x = x

よって
x1=x


そうなのか、逆元の公理ってかたっぽだけでいいのか…うーん(イマイチ納得できていない)


追記:ためしに公理の方(単位元、逆元)を

  • \forall x.x1=x
  • \forall x.x^{-1}x=1

とでも書き換えても、単位元の可換性を示せるんでしょうか。はて。

あとこちらの方法ですが、 x1=x より先に x=(x^{-1})^{-1} を示すのは難しい気がするんですが、どうでしょ。

*1:x^{-1})^{-1}(x^{-1}x

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